\(y=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x^2=m\end{cases}\)

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị <=> phương trình y=0 có 3 nghiệm phân biệt và y đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó <=>m>0

- Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là :

\(A\left(0;m-1\right);B\left(-\sqrt{m};-m^2=m-1\right);\left(\sqrt{m};-m^2=m-1\right)\)

- \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|y_B-y_A\right|.\left|x_C-x_B\right|=m^2\sqrt{m}\); \(AB=AC=\sqrt{m^4+m},BC=2\sqrt{m}\)

- \(R=\frac{AB.AC.BC}{4S_{ABC}}=1\Leftrightarrow\frac{\left(m^4+m\right)2\sqrt{m}}{4m^2\sqrt{m}}=1\)\(\Leftrightarrow m^3-2m+1=0\)

                                                                \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{cases}\)

Chọn B

Ta có :

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m > 0(*)

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A ( 0 ; m - 1 ) ,   B ( - m ; - m 2 + m - 1 )

S ∆ A B C = 1 2 y B - y A x c - x B

Kết hợp điều kiện (*) ta có

[Phương pháp trắc nghiệm]

Áp dụng công thức

Kết hợp điều kiện (*) ta có

Chọn B

Ta có :

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m > 0(*)

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A ( 0 ; m - 1 ) ,   B ( - m ; - m 2 + m - 1 )

S ∆ A B C = 1 2 y B - y A x c - x B

Kết hợp điều kiện (*) ta có

[Phương pháp trắc nghiệm]

Áp dụng công thức

Kết hợp điều kiện (*) ta có

Chọn B

[Phương pháp tự luận]

Hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 0 

Ba điểm cực trị là

Gọi I là trung điểm của  B C ⇒ I ( 0 ; m - m 2 )

S ∆ A B C = 1 2 A I . B C = m m 2

Chu vi của ∆ A B C là:

Bán kính đường tròn nội tiếp  ∆ A B C là:

r = S ∆ A B C p = m m 2 m + m 4 + m

Theo bài ra: r > 1 ⇔ m m 2 m + m 4 + m > 1  

⇔ m m 2 ( m + m 4 - m ) m 4 > 1 (vì m > 0 )

So sánh điều kiện suy ra m > 2 thỏa mãn.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Sử dụng công thức

Theo bài ra:

So sánh điều kiện suy ra m > 2 thỏa mãn.

Ta có \(y'=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right);y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x^2=m\)

Hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow\) phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt là \(x=0;x=\pm\sqrt{m}\) suy ra đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trị là \(A\left(0;m^2-m\right);B\left(-\sqrt{m};-m\right);\overrightarrow{AB}=\left(-\sqrt{m};-m^2\right);\overrightarrow{AC}=\left(\sqrt{m;}-m^2\right)\)

Do đó \(AB=AC=\sqrt{m^4+m}\) nên yêu cầu bài toán được thỏa mãn 

\(\Leftrightarrow\widehat{BAC}=120^0\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=120^0\)\(\Leftrightarrow\frac{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{1}{2}\)

                           \(\Leftrightarrow\frac{-\left(m\right)+m^4}{m+m^4}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow2m^4-2m=-m-m^4\)

                          \(\Leftrightarrow3m^4-m=0\Leftrightarrow m\left(3m^3-1\right)=0\Leftrightarrow m=0\) hoặc \(m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)

Kết hợp với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là \(m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)